¿Barras o elementos finitos? No son dos métodos, son dos modelos

"¿Lo calculo con el método de las rigideces o con elementos finitos?" es una pregunta que se escucha en cualquier cátedra y en cualquier oficina de cálculo, y está mal planteada. El problema es que presenta a las dos opciones como alternativas equivalentes, y no lo son.

El método de las rigideces es el método de los elementos finitos aplicado a barras. Entre un programa "de barras" y uno "de elementos finitos", lo que cambia es el modelo. Una barra es una teoría unidimensional de cómo se deforma una pieza; una cáscara es un continuo bidimensional discretizado. Elegir entre los dos es una decisión de ingeniería, y esta nota es sobre cuándo tomarla y qué cuesta equivocarse.

Una barra recta no necesita malla

En elementos finitos, el desplazamiento dentro de cada elemento se aproxima con funciones de forma. Para una barra que flexiona, las habituales son los polinomios cúbicos de Hermite. Y la ecuación de la viga de Euler-Bernoulli sin carga en el tramo tiene como solución, justamente, un polinomio cúbico: la aproximación coincide con la solución exacta.

Por eso la matriz de rigidez de una barra prismática que figura en cualquier libro de análisis matricial es exacta, y por eso dividir una barra en más pedazos no mejora nada. Con carga repartida pasa lo mismo en los nudos, siempre que las cargas nodales equivalentes se calculen de forma consistente.

Con dos barras o con cincuenta, el motor da el mismo número, y es el de la fórmula cerrada.

Mallar una barra recta no la hace más precisa: la hace más lenta.

Dónde se separan

La teoría de Euler-Bernoulli supone que las secciones planas siguen planas y perpendiculares al eje, lo que equivale a decir que la pieza no se deforma por corte. En una viga esbelta es una muy buena aproximación. En una de canto grande deja de serlo.

Tomamos la misma viga de 6 m con la misma carga y le fuimos aumentando el canto. Cada caso se resolvió dos veces: con barras, como lo hace el modo Básico, y como una cáscara MITC4 en su plano, como lo puede hacer el modo PRO.

Con L/h = 10, que es una viga común, la diferencia es del 2 %. Con L/h = 5, casi del 8 %. Con L/h = 3 el modelo de barras da una flecha 19 % menor, y con L/h = 2, un tercio menor.

El modelo de barras siempre da una viga más rígida de lo que es.

Cómo verificarlo con una calculadora

No hace falta creerle a la cáscara. La teoría de vigas de Timoshenko incorpora la deformación por corte, y para una viga simplemente apoyada con carga uniforme ese aporte es un término que se suma: q·L² / (8·κ·G·A), con κ = 5/6 para una sección rectangular y G = E / (2·(1+ν)).

Para L/h = 3 ese término vale 0,0108 mm, y sumado a los 0,0422 mm de Euler-Bernoulli da 0,0530 mm. La cáscara da 0,0521 mm, y la solución cerrada de elasticidad plana de Timoshenko y Goodier, 0,0523 mm. Las tres respuestas que consideran el corte coinciden dentro del 2 %. La que no lo considera queda 19 % abajo.

¿Importan unas centésimas de milímetro?

En esa viga aislada, no mucho. En una estructura isostática, un error de rigidez se queda en la flecha, y la flecha de una viga de 2 m de canto es chica de todos modos. El error empieza a importar cuando la rigidez decide cómo se reparten las cargas, que es lo que pasa en cualquier estructura hiperestática.

El caso típico es el tabique. En un modelo de barras, un tabique es una columna muy ancha: se le asigna la inercia del muro y se lo ubica sobre su eje. Si el tabique es bajo y largo, la barra lo hace bastante más rígido de lo que es.

Un tabique de 4 m de largo y 3 m de alto, de una sola planta, resulta 2,2 veces más rígido modelado como barra. Uno de 3 m de largo y 9 m de alto, de tres plantas, sólo un 8 % más. La diferencia se vuelve especialmente importante en tabiques bajos.

Y eso cambia el reparto. Supongamos dos tabiques en la misma línea, uno de 4 m y otro de 2 m de largo, los dos de 3 m de alto y unidos por la losa. Con barras, el tabique corto toma el 11,1 % del corte. Con cáscaras toma el 17,6 %, un 58 % más de lo que dice el modelo de barras. Lo que la barra le carga de más al tabique largo se lo saca al corto, que queda diseñado para menos corte del que va a recibir.

Las preguntas que una barra no puede contestar

Hasta acá, casos en los que las barras dan un número equivocado. Hay otros en los que directamente no pueden dar un número, porque la pregunta no existe en su modelo.

• Una losa sin vigas. Cómo se reparte el momento entre la franja de columna y la central, y cuánto se concentra sobre cada columna, es información bidimensional. Una grilla de barras la puede aproximar, pero esa información no está en el modelo.
• Un muro con aberturas. La barra tiene una sola sección en cada punto de su eje, y una ventana en el medio del muro no tiene lugar en ese modelo.
• El nudo. Para el modelo de barras, el encuentro entre viga y columna es un punto, así que el momento máximo aparece en el eje. En la realidad el nudo tiene el tamaño de la columna, y la sección que se diseña es la de la cara.
• Una carga concentrada cerca de un apoyo. En esa zona la hipótesis de secciones planas no vale, por la misma razón que en la viga de gran canto.

Dónde tienen que coincidir

La otra mitad del razonamiento es igual de importante. En la viga esbelta de la primera fila, con L/h = 20, barras y cáscaras difieren un 0,5 %. No es cero, porque el corte existe siempre, pero es despreciable. Y así tiene que ser: si en una pieza esbelta los dos modelos no coinciden, conviene revisar primero el modelo de elementos finitos, y en particular la malla.

Los dos modelos, en un mismo programa

Que un programa tenga barras y cáscaras no es ninguna novedad. SAP2000, ETABS, Robot y midas combinan las dos cosas en el mismo modelo, y es lo mínimo que se le pide a un programa profesional. Pero esos programas no están pensados para explicar lo que calculan. Del otro lado, herramientas educativas como Ftool o MASTAN2 enseñan muy bien el análisis de barras, pero no llegan a los elementos finitos.

Stabileo tiene los dos modos en el mismo programa. El modo Básico resuelve con barras y muestra el método de las rigideces en nueve pasos: numeración de grados de libertad, matrices locales, transformación, ensamblaje, vector de cargas, condiciones de borde, solución, reacciones y fuerzas internas. El modo PRO resuelve por elementos finitos, con cáscaras MITC4 y placas DKT además de barras. En la revisión que hicimos, no encontramos otro programa en el que se pueda aprender cómo funciona el cálculo y después aplicarlo a un modelo más completo sin cambiar de herramienta.

En resumen

1. Para una barra prismática, el método de las rigideces es el caso exacto de los elementos finitos. Lo que se elige es el modelo.
2. Una barra recta no necesita malla. Si dividirla cambia el resultado, el problema es otro.
3. Por debajo de L/h ≈ 5, el modelo de barras subestima la flecha en más de un 8 %, y por debajo de 3, en más de un 19 %. Siempre da una viga más rígida.
4. En una estructura hiperestática ese error cambia el reparto de las cargas. Conviene revisar los tabiques bajos y largos antes que las vigas.
5. Losas sin vigas, muros con aberturas y cargas cerca de los apoyos son preguntas que un modelo de barras no puede contestar.
6. Donde la pieza es esbelta, los dos modelos tienen que coincidir. Si no coinciden, hay que revisar la malla.