Tres fórmulas distintas dan la tensión de corte por torsión. Para una misma sección pueden diferir en órdenes de magnitud, y cuál corresponde no depende del tamaño ni del material: depende de cómo es la pared.
Hasta ahí, lo que dice cualquier libro. Lo que casi no se explica es qué pasa cuando dos de las tres se aplican a la misma sección, porque ahí no dan lo mismo, y la diferencia siempre va para el mismo lado.
Las tres fórmulas
- Cauchy, τ = T·r / Iₚ. Sólo para sección circular, y ahí es exacta: es el único caso en que las secciones planas siguen planas. La tensión crece linealmente con el radio, mínima adentro y máxima en la cara exterior.
- Bredt, τ = T / (2·Aₘ·t). Para pared delgada cerrada. El torsor lo toma un flujo de corte que circula alrededor del área encerrada. Aₘ es el área que encierra la línea media de la pared, no su cara exterior; confundirlas es un error frecuente.
- Saint-Venant, τ = T·t / J con J = (1/3)·Σb·t³. Para pared delgada abierta. Sin circuito cerrado, el flujo tiene que darse vuelta sobre sí mismo cruzando el espesor, y por eso el espesor entra al cubo.
Cuando dos se aplican, no coinciden
Tomá un tubo circular. Cauchy se aplica y es exacta. Bredt también se aplica: hay una pared cerrada y un flujo que circula. Pero Bredt supone que la tensión es constante en el espesor, y Cauchy sabe que crece con el radio. Así que Bredt reporta un promedio donde Cauchy reporta el máximo.
| t / rₘ | Ejemplo (rₘ = 50 mm) | τ Bredt / τ exacta | Bredt queda por debajo |
|---|---|---|---|
| 0,05 | pared 2,5 mm | 0,976 | 2,4 % |
| 0,10 | pared 5,0 mm | 0,955 | 4,5 % |
| 0,20 | pared 10,0 mm | 0,918 | 8,2 % |
| 0,50 | pared 25,0 mm | 0,850 | 15,0 % |
En los cuatro casos Bredt queda por debajo. Para un tubo de 5 mm de pared sobre 50 mm de radio medio, que por la regla habitual todavía es pared delgada, la tensión real resulta 4,5 % mayor que la calculada. Con 10 mm de pared, 8,2 %.
El error de Bredt no reparte: va siempre hacia tensiones menores que las reales.
Un 4,5 % no llama la atención en una verificación. Pasa como que verifica.
Abrir la pared cambia el orden de magnitud
Entre teorías que se solapan la diferencia es de unidades por ciento. Entre pared cerrada y abierta es de otro orden. Un tubo cuadrado de 100×100 mm con 5 mm de pared, cortado a lo largo, conserva el área, el peso y casi toda la inercia a flexión.
| Cerrado | Con ranura | Factor | |
|---|---|---|---|
| J [mm⁴] | 4.286.875 | 15.833 | 271 |
| τ [MPa] | 11,08 | 315,79 | 29 |
La rigidez a torsión cae 271 veces y la tensión se multiplica por 29. Un perfil C y un tubo cuadrado del mismo peso no se comportan igual en torsión.
Qué hace Stabileo con esto
Muestra las tres, cada una con su fórmula, sus términos y su valor. También las que no se aplican, con el motivo. Y cuando dos son válidas para la misma sección, muestra la diferencia entre ellas en lugar de elegir una en silencio.
El baricentro, el centro de corte y el núcleo central se tratan igual: se derivan paso a paso y a la vista, sobre el polígono real de la sección y no sobre una fórmula por forma.
En resumen
- ¿La pared forma un circuito cerrado? Bredt, con Aₘ medida sobre la línea media.
- ¿Es abierta? Saint-Venant, y el espesor entra al cubo: gobierna la pared más gruesa.
- ¿Es circular? Cauchy, y es exacta. Si además usás Bredt, sabé que vas a quedar por debajo.
- ¿Está impedido el alabeo? Entonces Saint-Venant sola no alcanza.
Y en cualquier caso, conviene anotar qué teoría se usó junto con el valor.