Trois formules différentes donnent la contrainte de cisaillement due à la torsion. Pour une même section, elles peuvent différer de plusieurs ordres de grandeur, et celle qui s’applique dépend du type de paroi de la section.
Jusque-là, rien qui ne figure dans n’importe quel manuel. Ce qu’on explique rarement, c’est ce qui se passe quand deux des trois s’appliquent à la même section : elles donnent des réponses différentes, et l’écart va toujours dans le même sens.
Les trois formules
- Cauchy, τ = T·r / Iₚ. Uniquement pour les sections circulaires, et là elle est exacte : c’est le seul cas où les sections planes restent planes. La contrainte croît linéairement avec le rayon, d’un minimum sur la face intérieure à un maximum sur la face extérieure.
- Bredt, τ = T / (2·Aₘ·t). Pour les sections fermées à parois minces. Le moment de torsion est repris par un flux de cisaillement qui circule autour de l’aire enfermée. Aₘ est l’aire délimitée par la ligne moyenne de la paroi, et non par sa face extérieure ; confondre les deux est une erreur courante.
- Saint-Venant, τ = T·t / J avec J = (1/3)·Σb·t³. Pour les sections ouvertes à parois minces. Faute de contour fermé, le flux doit revenir sur lui-même dans l’épaisseur, ce qui explique que l’épaisseur apparaisse au cube.
Quand deux s’appliquent, elles ne concordent pas
Prenons un tube circulaire. Cauchy s’applique et est exacte. Bredt s’applique aussi : la paroi est fermée et un flux de cisaillement en fait le tour. Mais Bredt suppose une contrainte constante dans l’épaisseur, alors que chez Cauchy elle croît avec le rayon. Bredt donne donc la moyenne, et Cauchy le maximum.
| t / rₘ | Exemple (rₘ = 50 mm) | τ Bredt / τ exacte | Bredt trop faible de |
|---|---|---|---|
| 0,05 | paroi de 2,5 mm | 0,976 | 2,4 % |
| 0,10 | paroi de 5,0 mm | 0,955 | 4,5 % |
| 0,20 | paroi de 10,0 mm | 0,918 | 8,2 % |
| 0,50 | paroi de 25,0 mm | 0,850 | 15,0 % |
Bredt est trop faible dans les quatre cas. Pour un tube de 5 mm de paroi et de 50 mm de rayon moyen, que la règle empirique habituelle range encore parmi les parois minces, la contrainte réelle est supérieure de 4,5 % à la contrainte calculée. Avec une paroi de 10 mm, de 8,2 %.
L’erreur a toujours le même signe : Bredt donne une valeur trop faible.
Un écart de 4,5 % ne saute pas aux yeux dans une vérification de dimensionnement : une barre non conforme peut donc sembler conforme.
Ouvrir la paroi change l’ordre de grandeur
Entre théories qui se recouvrent, l’écart est de quelques pour cent. Entre une paroi fermée et une paroi ouverte, il est de plusieurs ordres de grandeur. Prenons un tube carré de 100×100 mm à paroi de 5 mm et fendons-le sur toute sa longueur : il conserve son aire, son poids et presque toute sa rigidité en flexion.
| Fermé | Fendu | Facteur | |
|---|---|---|---|
| J [mm⁴] | 4 286 875 | 15 833 | 271 |
| τ [MPa] | 11,08 | 315,79 | 29 |
La rigidité en torsion est divisée par 271 et la contrainte multipliée par 29. Un profilé en U et un tube carré de même poids se comportent très différemment en torsion.
Ce qu’en fait Stabileo
Stabileo affiche les trois, chacune avec sa formule, ses termes et sa valeur. Celles qui ne s’appliquent pas sont affichées aussi, avec la raison. Et quand deux sont valables pour la même section, il montre l’écart entre elles au lieu d’en choisir une sans le dire.
Le centre de gravité, le centre de cisaillement et le noyau central sont traités de la même façon : calculés pas à pas, sous vos yeux, sur le polygone réel de la section plutôt qu’à partir d’une formule propre à chaque forme.
En bref
- La paroi forme-t-elle un circuit fermé ? Bredt, avec Aₘ mesurée sur la ligne moyenne.
- Est-elle ouverte ? Saint-Venant, et l’épaisseur intervient au cube : la paroi la plus épaisse est déterminante.
- Est-elle circulaire ? Cauchy, et elle est exacte. Si vous utilisez aussi Bredt, attendez-vous à une valeur trop faible.
- Le gauchissement est-il empêché ? Alors Saint-Venant seule ne suffit pas.
Dans tous les cas, notez à côté de la valeur la théorie que vous avez utilisée.