Três fórmulas diferentes dão a tensão de cisalhamento por torção. Para uma mesma seção podem diferir em ordens de grandeza, e qual delas corresponde depende de como é a parede, não do seu tamanho nem do material.
Até aí, o que diz qualquer livro. O que quase não se explica é o que acontece quando duas das três se aplicam à mesma seção, porque aí elas não dão o mesmo, e a diferença vai sempre para o mesmo lado.
As três fórmulas
- Cauchy, τ = T·r / Iₚ. Apenas para seção circular, e aí é exata: é o único caso em que as seções planas permanecem planas. A tensão cresce linearmente com o raio, mínima por dentro e máxima na face externa.
- Bredt, τ = T / (2·Aₘ·t). Para parede fina fechada. O torque é absorvido por um fluxo de cisalhamento que circula ao redor da área fechada. Aₘ é a área delimitada pela linha média da parede, não pela face externa; confundir as duas é um erro frequente.
- Saint-Venant, τ = T·t / J com J = (1/3)·Σb·t³. Para parede fina aberta. Sem circuito fechado, o fluxo tem de se voltar sobre si mesmo atravessando a espessura, e por isso a espessura entra ao cubo.
Onde duas se aplicam, elas discordam
Pegue um tubo circular. Cauchy se aplica e é exata. Bredt também se aplica: há uma parede fechada e um fluxo circulando. Mas Bredt supõe que a tensão é constante na espessura, e Cauchy sabe que ela cresce com o raio. Então Bredt reporta uma média onde Cauchy reporta o máximo.
| t / rₘ | Exemplo (rₘ = 50 mm) | τ Bredt / τ exata | Bredt fica abaixo em |
|---|---|---|---|
| 0,05 | parede 2,5 mm | 0,976 | 2,4 % |
| 0,10 | parede 5,0 mm | 0,955 | 4,5 % |
| 0,20 | parede 10,0 mm | 0,918 | 8,2 % |
| 0,50 | parede 25,0 mm | 0,850 | 15,0 % |
Nos quatro casos Bredt fica abaixo. Para um tubo de 5 mm de parede sobre 50 mm de raio médio, que pela regra prática ainda é parede fina, a tensão real resulta 4,5 % maior que a calculada. Com 10 mm de parede, 8,2 %.
O erro de Bredt não se reparte: vai sempre para tensões menores que as reais.
Um 4,5 % não chama atenção numa verificação. Passa como aprovado.
Abrir a parede muda a ordem de grandeza
Entre teorias que se sobrepõem a diferença é de alguns por cento. Entre parede fechada e aberta é de outra ordem. Um tubo quadrado de 100×100 mm com parede de 5 mm, cortado ao longo, mantém a área, o peso e quase toda a inércia à flexão.
| Fechado | Cortado | Fator | |
|---|---|---|---|
| J [mm⁴] | 4.286.875 | 15.833 | 271 |
| τ [MPa] | 11,08 | 315,79 | 29 |
A rigidez à torção cai 271 vezes e a tensão se multiplica por 29. Um perfil C e um tubo quadrado do mesmo peso não se comportam igual em torção.
O que o Stabileo faz com isso
Mostra as três, cada uma com sua fórmula, seus termos e seu valor. As que não se aplicam também aparecem, com o motivo. E quando duas são válidas para a mesma seção, mostra a diferença entre elas em vez de escolher uma em silêncio.
O baricentro, o centro de cisalhamento e o núcleo central recebem o mesmo tratamento: derivados passo a passo e à vista, sobre o polígono real da seção e não sobre uma fórmula por forma.
Em resumo
- A parede forma um circuito fechado? Bredt, com Aₘ medida sobre a linha média.
- É aberta? Saint-Venant, e a espessura entra ao cubo: governa a parede mais grossa.
- É circular? Cauchy, e é exata. Se você também usar Bredt, saiba que vai ficar abaixo.
- O empenamento está impedido? Então Saint-Venant sozinha não basta.
E, em qualquer caso, vale registrar qual teoria foi usada junto com o valor.