Drei verschiedene Formeln liefern die Schubspannung aus Torsion. Für denselben Querschnitt können sie sich um Größenordnungen unterscheiden, und welche gilt, hängt von der Art der Wand ab, die der Querschnitt hat.
So viel steht in jedem Lehrbuch. Was selten erklärt wird, ist, was passiert, wenn zwei der drei für denselben Querschnitt gelten: Sie liefern unterschiedliche Antworten, und der Unterschied geht immer in dieselbe Richtung.
Die drei Formeln
- Cauchy, τ = T·r / Iₚ. Nur für Kreisquerschnitte, und dort ist sie exakt: Es ist der einzige Fall, in dem ebene Querschnitte eben bleiben. Die Spannung wächst linear mit dem Radius, von einem Minimum am inneren Rand bis zu einem Maximum am äußeren Rand.
- Bredt, τ = T / (2·Aₘ·t). Für geschlossene dünnwandige Querschnitte. Das Torsionsmoment wird von einem Schubfluss getragen, der um die eingeschlossene Fläche umläuft. Aₘ ist die von der Mittellinie der Wand eingeschlossene Fläche, nicht die von ihrem äußeren Rand; beides zu verwechseln, ist ein häufiger Fehler.
- Saint-Venant, τ = T·t / J mit J = (1/3)·Σb·t³. Für offene dünnwandige Querschnitte. Ohne geschlossenen Weg muss der Fluss über die Dicke auf sich selbst zurückkehren, deshalb geht die Dicke in der dritten Potenz ein.
Wenn zwei gelten, widersprechen sie sich
Nehmen wir ein Kreisrohr. Cauchy gilt und ist exakt. Bredt gilt ebenfalls: Die Wand ist geschlossen, und ein Schubfluss läuft um sie herum. Aber Bredt nimmt an, dass die Spannung über die Dicke konstant ist, während sie bei Cauchy mit dem Radius wächst. Bredt liefert also den Mittelwert und Cauchy das Maximum.
| t / rₘ | Beispiel (rₘ = 50 mm) | τ Bredt / τ exakt | Bredt zu tief um |
|---|---|---|---|
| 0,05 | Wand 2,5 mm | 0,976 | 2,4 % |
| 0,10 | Wand 5,0 mm | 0,955 | 4,5 % |
| 0,20 | Wand 10,0 mm | 0,918 | 8,2 % |
| 0,50 | Wand 25,0 mm | 0,850 | 15,0 % |
Bredt liegt in allen vier Fällen zu tief. Bei einem Rohr mit 5 mm Wand und 50 mm mittlerem Radius, das nach der üblichen Faustregel noch als dünnwandig gilt, ist die tatsächliche Spannung 4,5 % höher als die berechnete. Bei 10 mm Wand sind es 8,2 %.
Der Fehler hat immer dasselbe Vorzeichen: Bredt liegt zu tief.
Ein Unterschied von 4,5 % fällt bei einem Bemessungsnachweis nicht auf, also kann ein Stab, der den Nachweis nicht erfüllt, so aussehen, als würde er ihn erfüllen.
Eine offene Wand ändert die Größenordnung
Zwischen sich überschneidenden Theorien beträgt der Unterschied einige Prozent. Zwischen einer geschlossenen und einer offenen Wand sind es Größenordnungen. Nehmen Sie ein Quadratrohr 100×100 mm mit 5 mm Wand und schlitzen Sie es in Längsrichtung auf: Es behält seine Fläche, sein Gewicht und fast seine gesamte Biegesteifigkeit.
| Geschlossen | Geschlitzt | Faktor | |
|---|---|---|---|
| J [mm⁴] | 4286875 | 15833 | 271 |
| τ [MPa] | 11,08 | 315,79 | 29 |
Die Torsionssteifigkeit sinkt um den Faktor 271, und die Spannung steigt um den Faktor 29. Ein U-Profil und ein Quadratrohr gleichen Gewichts verhalten sich bei Torsion sehr unterschiedlich.
Was Stabileo damit macht
Stabileo zeigt alle drei, jede mit ihrer Formel, ihren Termen und ihrem Wert. Die nicht anwendbaren werden ebenfalls gezeigt, mit Begründung. Und wenn zwei für denselben Querschnitt gelten, zeigt es den Unterschied zwischen ihnen, statt stillschweigend eine auszuwählen.
Schwerpunkt, Schubmittelpunkt und Querschnittskern werden genauso behandelt: Schritt für Schritt und vollständig sichtbar berechnet, am tatsächlichen Polygon des Querschnitts statt mit einer Formel für jede Form.
Kurz gesagt
- Bildet die Wand einen geschlossenen Umlauf? Bredt, mit Aₘ auf der Mittellinie gemessen.
- Ist sie offen? Saint-Venant, und die Dicke geht in der dritten Potenz ein: Die dickste Wand ist maßgebend.
- Ist sie kreisförmig? Cauchy, und das ist exakt. Wenn Sie zusätzlich Bredt verwenden, rechnen Sie mit einem zu tiefen Wert.
- Ist die Verwölbung behindert? Dann reicht Saint-Venant allein nicht aus.
In jedem Fall halten Sie neben dem Wert fest, welche Theorie Sie verwendet haben.