Die meisten haben den Biegenachweis als eine einzige Ungleichung im Kopf: φMn ≥ Mu. Das stimmt, und es ist die letzte Zeile. Was über das Ergebnis entscheidet, passiert vorher, in Schritten, die selten genau angesehen werden, weil sie nach Formalität aussehen.
Das liefert das CIRSOC-201-Modul von Stabileo für einen Balken 20×40 cm aus Beton H-25, Stahl fy 420, 25 mm Betondeckung und Bügeln Ø8 mm unter einem Moment von 60 kN·m:
- d = 35,9 cm, d’ = 4,1 cm
- Mu = 60,00 kN·m
- As,min = 2,39 cm²
- As,max (einfach bewehrt) = 11,58 cm²
- As,req (Zug) = 4,73 cm²
- Zugbewehrung: 2 Ø20 (6,28 cm²)
- a = 6,21 cm, c = 7,31 cm
- εt = 11,74‰
- εt ≥ 5‰ → zugbestimmt → φ = 0,90
- φMn = 77,90 kN·m
Zehn Schritte. An den zehnten erinnert sich jeder. Über das Ergebnis entscheiden der dritte und der neunte.
Schritt 3: Die Mindestbewehrung ist öfter maßgebend, als man denkt
Artikel 9.6.1.2 verlangt eine Mindestbiegebewehrung gleich dem größeren Wert aus 0.25·√f’c/fy·bw·d und 1.4/fy·bw·d. Meist wird sie als Untergrenze behandelt, die fast nie erreicht wird. Bei Balken im Wohnungsbau wird sie ständig erreicht.
| Mu [kN·m] | As aus Tragfähigkeit [cm²] | As,min [cm²] | Maßgebend |
|---|---|---|---|
| 15 | 1,12 | 2,39 | Mindestbewehrung |
| 30 | 2,28 | 2,39 | Mindestbewehrung |
| 60 | 4,73 | 2,39 | Tragfähigkeit |
| 90 | 7,38 | 2,39 | Tragfähigkeit |
Der Umschlagpunkt liegt bei Mu = 31,5 kN·m. Unterhalb dieses Moments bringt eine Bemessung auf Tragfähigkeit nichts: Der Querschnitt erhält so oder so 2,39 cm². Es lohnt sich zu wissen, auf welcher Seite des Umschlagpunkts ein Balken liegt, bevor man über seine Bewehrung diskutiert.
Und die Mindestbewehrung hängt selten vom Beton ab
Von den beiden Ausdrücken des Artikels übersteigt der mit √f’c den anderen nur bei recht festem Beton.
| Beton | 0.25·√f'c/fy | 1.4/fy | Maßgebend |
|---|---|---|---|
| H-20 | 2,6620 | 3,3333 | 1.4/fy |
| H-25 | 2,9762 | 3,3333 | 1.4/fy |
| H-30 | 3,2603 | 3,3333 | 1.4/fy |
| H-35 | 3,5215 | 3,3333 | √f’c |
Der Umschlagpunkt liegt bei f’c = 31,36 MPa. Im gesamten im Wohnungsbau üblichen Bereich (H-20, H-25, H-30) hängt die Mindestbewehrung nicht vom Beton ab: Sie ergibt sich aus 1.4/fy und aus nichts anderem. Der Wechsel von H-20 auf H-30 senkt die Mindestbewehrung um keinen einzigen Quadratzentimeter.
Schritt 9: φ ist nicht automatisch 0,9
Der Abminderungsbeiwert wird für Biegung als 0,90 gelehrt und danach wie eine Konstante behandelt. Das ist er nicht. Er ergibt sich aus der Dehnung des Zugstahls im Grenzzustand der Tragfähigkeit, und das Modul sagt das in Schritt 9: εt ≥ 5‰ → zugbestimmt → φ = 0,90. Legt man mehr Stahl in den Querschnitt, sinkt εt und nimmt φ mit.
| Mu [kN·m] | Bewehrung | εt [‰] | φ | φMn [kN·m] |
|---|---|---|---|---|
| 30 | 2 Ø16 | 20,03 | 0,90 | 51,6 |
| 60 | 2 Ø20 | 11,74 | 0,90 | 77,9 |
| 90 | 2 Ø25 | 6,44 | 0,90 | 115,2 |
| 120 | 2 Ø32 | 2,76 | 0,707 | 133,5 |
In der letzten Zeile ist der Querschnitt in den Übergangsbereich geraten, und φ ist auf 0,707 gefallen. Die Tragfähigkeit ist nicht im gleichen Maß gewachsen wie der Stahl: Zwischen den letzten beiden Zeilen steigt die Stabfläche nominell von 9,82 auf 16,08 cm², φMn dagegen nur von 115,2 auf 133,5 kN·m. Ein guter Teil dessen, was hinzukommt, geht im Beiwert verloren.
Ein überbewehrter Querschnitt fällt nicht durch den Nachweis. Er verliert in φ, und das Ergebnis sagt trotzdem, dass er besteht.
Warum Druckbewehrung eingelegt wird
Die übliche Antwort lautet „damit die Stäbe hineinpassen“. Das ist die Folge, nicht der Grund. Bei Mu = 200 kN·m an genau diesem Balken ermittelt das Modul εt = 1,51‰, unterhalb der Grenze, und fügt Druckbewehrung hinzu. Damit steigt die Nulllinie nach oben, εt kehrt auf 7,46‰ zurück und φ auf 0,90.
Die Druckbewehrung ist also dazu da, dem Querschnitt seine Duktilität zurückzugeben und den Beiwert wiederherzustellen. Die Tragfähigkeit folgt daraus, als Ergebnis.
Probieren Sie es an einem echten Balken aus
Unten finden Sie das Modell: einen Einfeldträger mit 5 m Spannweite, 20×40, H-25, mit 12 kN/m ständiger Last und 8 kN/m Nutzlast zuzüglich Eigengewicht. Es öffnet sich im Bemessungsablauf von PRO, mit CIRSOC 201 als geltender Bemessungsnorm.
Kurz gesagt
- Prüfen Sie vor der Bemessung, ob das Moment über oder unter dem Umschlagpunkt zur Mindestbewehrung liegt. Darunter ist die Bewehrung bereits entschieden.
- Von H-20 bis H-30 hängt die Mindestbewehrung nicht vom Beton ab. Sie ergibt sich aus 1.4/fy.
- φ hängt von εt ab: Lesen Sie beide immer zusammen.
- Wenn Druckbewehrung auftaucht, dann weil der Querschnitt Duktilität verloren hat, nicht weil ihm Tragfähigkeit fehlt.