Barras ou elementos finitos? Não são dois métodos, são dois modelos

"Calculo pelo método da rigidez ou por elementos finitos?" é uma pergunta que se ouve em qualquer sala de aula e em qualquer escritório de projeto estrutural, e ela está mal formulada. O problema é que trata as duas opções como alternativas equivalentes, e elas não são.

O método da rigidez é o método dos elementos finitos aplicado a barras. O que muda entre um programa "de barras" e um "de elementos finitos" é o modelo. A barra é uma teoria unidimensional de como uma peça se deforma; a casca é um contínuo bidimensional discretizado. Escolher entre os dois é uma decisão de engenharia, e este artigo trata de quando tomá-la e de quanto custa errar.

Uma barra reta não precisa de malha

Em elementos finitos, o deslocamento dentro de cada elemento é aproximado por funções de forma. Para uma barra em flexão, as mais usadas são os polinômios cúbicos de Hermite. E a solução da equação da viga de Euler-Bernoulli sem carga no vão é justamente um polinômio cúbico, de modo que a aproximação coincide com a solução exata.

Por isso a matriz de rigidez de uma barra prismática, a que aparece em qualquer livro de análise matricial, é exata, e por isso dividir uma barra em mais elementos não melhora nada. Com carga distribuída, o mesmo vale nos nós, desde que as cargas nodais equivalentes sejam calculadas de forma consistente.

Com duas barras ou com cinquenta, o motor de cálculo dá o mesmo número, que é o da fórmula fechada.

Discretizar uma barra reta não a torna mais precisa: só a torna mais lenta.

Onde os modelos divergem

A teoria de Euler-Bernoulli supõe que as seções planas permanecem planas e perpendiculares ao eixo, o que equivale a desprezar a deformação por cisalhamento. Numa viga esbelta, é uma ótima aproximação. Numa viga alta, deixa de ser.

Pegamos a mesma viga de 6 m, com a mesma carga, e fomos aumentando a altura. Cada caso foi resolvido duas vezes: com barras, como faz o modo Básico, e como uma casca MITC4 no plano da viga, o que o modo PRO permite fazer.

Com L/h = 10, uma viga comum, a diferença é de 2 %. Com L/h = 5, quase 8 %. Com L/h = 3, o modelo de barras dá uma flecha 19 % menor, e com L/h = 2, um terço menor.

O modelo de barras sempre dá uma viga mais rígida do que ela realmente é.

Como conferir com uma calculadora

Não é preciso confiar na casca. A teoria de vigas de Timoshenko incorpora a deformação por cisalhamento, e, para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme, essa contribuição é um termo a mais na flecha: q·L² / (8·κ·G·A), com κ = 5/6 para uma seção retangular e G = E / (2·(1+ν)).

Para L/h = 3, esse termo vale 0,0108 mm; somado aos 0,0422 mm de Euler-Bernoulli, dá 0,0530 mm. A casca dá 0,0521 mm, e a solução fechada de elasticidade plana de Timoshenko e Goodier, 0,0523 mm. As três respostas que consideram o cisalhamento ficam a menos de 2 % umas das outras. A que não o considera fica 19 % abaixo.

Alguns centésimos de milímetro importam?

Nessa viga isolada, pouco. Numa estrutura isostática, um erro de rigidez fica restrito à flecha, e a flecha de uma viga de 2 m de altura é pequena de qualquer forma. O erro começa a importar quando a rigidez define como as cargas se distribuem, o que acontece em qualquer estrutura hiperestática.

O caso típico é o pilar-parede. Num modelo de barras, a parede vira um pilar muito largo: recebe a inércia da parede e fica posicionada no seu eixo. Se a parede for baixa e comprida, a barra a torna bem mais rígida do que ela é.

Uma parede de 4 m de comprimento e 3 m de altura, de um só pavimento, fica 2,2 vezes mais rígida quando modelada como barra. Uma de 3 m de comprimento e 9 m de altura, de três pavimentos, só 8 % mais. A diferença é especialmente importante nas paredes baixas.

E isso muda a distribuição do cortante. Considere duas paredes alinhadas, uma de 4 m e outra de 2 m de comprimento, ambas com 3 m de altura e ligadas pela laje. Com barras, a parede curta recebe 11,1 % do cortante. Com cascas, recebe 17,6 %, 58 % a mais do que indica o modelo de barras. A carga que a barra coloca a mais na parede comprida sai da curta, que acaba dimensionada para um cortante menor do que o que vai receber.

Perguntas que uma barra não consegue responder

Até aqui, vimos casos em que as barras dão um número errado. Em outros, elas nem conseguem dar um número, porque a pergunta não existe no modelo.

• Uma laje lisa, sem vigas. Como o momento se divide entre a faixa dos pilares e a faixa central, e quanto dele se concentra sobre cada pilar, é informação bidimensional. Uma grelha de barras pode aproximá-la, mas essa informação não está no modelo.
• Uma parede com aberturas. A barra tem uma única seção em cada ponto do seu eixo, e uma janela no meio da parede não tem lugar nesse modelo.
• O nó. Para o modelo de barras, o encontro entre viga e pilar é um ponto, então o momento máximo aparece no eixo. Na realidade, o nó tem o tamanho do pilar, e a seção dimensionada é a da face do pilar.
• Uma carga concentrada perto de um apoio. Nessa região, a hipótese das seções planas não vale, pelo mesmo motivo que na viga alta.

Onde os modelos têm de concordar

A outra metade do raciocínio é igualmente importante. Na viga esbelta da primeira linha, com L/h = 20, barras e cascas diferem 0,5 %. Não é zero, porque o cisalhamento sempre existe, mas é desprezível. E é o esperado: se os dois modelos não concordam numa peça esbelta, convém revisar primeiro o modelo de elementos finitos, e em especial a malha.

Os dois modelos, no mesmo programa

Ter barras e cascas no mesmo programa não é novidade. SAP2000, ETABS, Robot e midas combinam os dois no mesmo modelo, e isso é o mínimo que se espera de um software profissional. Mas esses programas não foram pensados para explicar o que calculam. Do outro lado, ferramentas de ensino como Ftool ou MASTAN2 ensinam muito bem a análise de barras, mas não chegam aos elementos finitos.

O Stabileo tem os dois modos no mesmo programa. O modo Básico resolve com barras e mostra o método da rigidez em nove passos: numeração dos graus de liberdade, matrizes locais, transformação, montagem, vetor de cargas, condições de contorno, solução, reações e esforços internos. O modo PRO resolve por elementos finitos, com cascas MITC4 e placas DKT além de barras. Nas ferramentas que analisamos, não encontramos outro programa em que se possa aprender como o cálculo funciona e depois aplicá-lo a um modelo mais completo sem trocar de ferramenta.

Em resumo

1. Para uma barra prismática, o método da rigidez é o caso exato do método dos elementos finitos. O que se escolhe é o modelo.
2. Uma barra reta não precisa de malha. Se dividi-la muda o resultado, o problema está em outro lugar.
3. Abaixo de L/h ≈ 5, o modelo de barras subestima a flecha em mais de 8 %, e abaixo de 3, em mais de 19 %. Sempre dá uma viga mais rígida.
4. Numa estrutura hiperestática, esse erro muda a distribuição das cargas. Vale revisar as paredes baixas e compridas antes das vigas.
5. Lajes sem vigas, paredes com aberturas e cargas perto dos apoios são perguntas que um modelo de barras não consegue responder.
6. Onde a peça é esbelta, os dois modelos têm de concordar. Se não concordam, é preciso revisar a malha.