Çubuk elemanlar mı, sonlu elemanlar mı? İki yöntem değil, iki model

“Rijitlik yöntemini mi kullanmalıyım, sonlu elemanları mı?” sorusu her sınıfta ve her proje bürosunda gündeme gelir ve yanlış bir sorudur. Sorun, ikisini birbirinin yerine kullanılabilecek seçenekler gibi ele almasıdır; oysa öyle değildirler.

Rijitlik yöntemi, çubuklara uygulanmış sonlu elemanlar yöntemidir. Bir “çubuk” programını bir “sonlu eleman” programından ayıran şey modeldir. Bir çubuk eleman, bir çubuğun nasıl şekil değiştirdiğine dair tek boyutlu bir teori taşır; bir kabuk ağı ise ayrıklaştırılmış iki boyutlu bir süreklidir. Aralarında seçim yapmak bir mühendislik kararıdır; bu yazı bu kararın ne zaman verileceğini ve yanlış verilmesinin neye mal olduğunu anlatıyor.

Doğru eksenli bir çubuk ağ gerektirmez

Sonlu elemanlarda her elemanın içindeki yer değiştirme şekil fonksiyonlarıyla yaklaşık olarak ifade edilir. Eğilme etkisindeki bir çubuk için kullanılanlar kübik Hermite polinomlarıdır. Açıklık boyunca yük bulunmadığında Euler-Bernoulli kiriş denkleminin çözümü de kübik bir polinomdur; dolayısıyla yaklaşım tam çözümle çakışır.

Bu yüzden prizmatik bir çubuğun rijitlik matrisi, yani herhangi bir matris yapı analizi kitabındaki matris, tamdır ve bir çubuğu daha fazla elemana bölmek hiçbir şeyi iyileştirmez. Yayılı yük olduğunda da, eşdeğer düğüm yükleri tutarlı biçimde hesaplandığı sürece aynı durum düğümlerde geçerlidir.

İki eleman da olsa elli eleman da, motor aynı sayıyı verir ve bu sayı kapalı çözümle örtüşür.

Doğru eksenli bir çubuğa ağ oluşturmak onu daha hassas yapmaz: daha yavaş yapar.

Yollarının ayrıldığı yer

Euler-Bernoulli teorisi düzlem kesitlerin düzlem ve eksene dik kaldığını varsayar; bu da kayma şekil değiştirmesini ihmal etmek anlamına gelir. Narin bir kiriş için bu çok iyi bir yaklaşımdır. Yüksek bir kiriş için değildir.

Aynı 6 m kirişi aynı yük altında aldık ve yüksekliğini adım adım artırdık. Her durum iki kez çözüldü: Temel modun yaptığı gibi çubuk elemanlarla ve PRO modun yapabildiği gibi kiriş düzleminde ağ oluşturulmuş MITC4 kabuk olarak.

Sıradan bir kiriş olan L/h = 10’da fark %2’dir. L/h = 5’te neredeyse %8’dir. L/h = 3’te çubuk modeli %19 daha küçük bir sehim verir, L/h = 2’de ise üçte bir daha küçük.

Çubuk modeli kirişi her zaman gerçekte olduğundan daha rijit yapar.

Hesap makinesiyle kontrol etmek

Kabuğun sonucuna körü körüne güvenmeniz gerekmiyor. Timoshenko kiriş teorisi kayma şekil değiştirmesini hesaba katar ve düzgün yayılı yük altındaki basit mesnetli bir kiriş için sehime bir terim ekler: q·L² / (8·κ·G·A); burada dikdörtgen kesit için κ = 5/6 ve G = E / (2·(1+ν)).

L/h = 3’te bu terim 0,0108 mm’dir; Euler-Bernoulli’den gelen 0,0422 mm’ye eklendiğinde 0,0530 mm verir. Kabuk 0,0521 mm verir; Timoshenko ve Goodier’in kapalı düzlem elastisite çözümü ise 0,0523 mm. Kaymayı içeren üç cevap birbiriyle %2 içinde uyuşur. Kaymayı ihmal eden cevap %19 düşük kalır.

Milimetrenin birkaç yüzde biri önemli mi?

Tek başına o kirişte pek değil. İzostatik bir yapıda rijitlik hatası yalnızca sehimi etkiler ve 2 m yüksekliğindeki bir kiriş zaten çok az sehim yapar. Hata, rijitliğin yüklerin nasıl dağılacağını belirlediği durumda önem kazanır; bu da her hiperstatik yapıda olan şeydir.

Tipik durum perde duvardır. Bir çubuk modelinde perde çok geniş bir kolondur: perdenin atalet momentini alır ve perdenin eksenine yerleşir. Yüksekliğine göre uzun olan basık bir perdeyi çubuk eleman gerçekte olduğundan belirgin biçimde daha rijit yapar.

4 m uzunluğunda ve 3 m yüksekliğinde, bir kat yüksekliğindeki bir perde, çubuk elemanla modellendiğinde 2,2 kat daha rijit çıkar. 3 m uzunluğunda ve 9 m yüksekliğinde, üç katlı bir perde ise yalnızca %8 daha rijittir. Fark en çok basık perdelerde önemlidir.

Bu da kesme kuvvetinin nasıl paylaşıldığını değiştirir. Aynı aks üzerinde, biri 4 m diğeri 2 m uzunluğunda, ikisi de 3 m yüksekliğinde ve döşemeyle birbirine bağlı iki perde alalım. Çubuk elemanlarla kısa perde kesme kuvvetinin %11,1’ini alır. Kabuklarla %17,6’sını alır; bu, çubuk modelinin öngördüğünden %58 fazladır. Çubuk modelinin uzun perdeye yüklediği fazla yük kısa perdeden eksilir ve kısa perde, gerçekte taşıyacağından daha az kesme kuvvetine göre boyutlandırılmış olur.

Bir çubuk modelinin cevaplayamayacağı sorular

Buraya kadar ele alınanlar, çubuk elemanların yanlış sayı verdiği durumlardı. Bazı durumlarda ise hiç sayı veremezler, çünkü sorunun modelde bir karşılığı yoktur.

• Kirişsiz döşeme. Momentin kolon şeridi ile orta şerit arasında nasıl paylaşıldığı ve ne kadarının her kolon üzerinde yoğunlaştığı iki boyutlu bir bilgidir. Bir kiriş ızgarası bunu yaklaşık olarak verebilir, ancak bu bilgi modelde yoktur.
• Boşluklu perde. Bir çubuk elemanın ekseni boyunca her noktada tek bir kesiti vardır; dolayısıyla perdenin ortasındaki bir pencerenin yerleşebileceği bir yer yoktur.
• Düğüm bölgesi. Bir çubuk modelinde kiriş-kolon birleşim bölgesi bir noktadır; bu yüzden en büyük moment eksen üzerinde çıkar. Gerçekte birleşim bölgesi kolon kadar büyüktür ve boyutlandırdığınız kesit kolon yüzündeki kesittir.
• Mesnede yakın tekil yük. Yüksek kirişteki nedenle aynı şekilde, bu bölgede düzlem kesitler düzlem kalmaz.

Uyuşmak zorunda oldukları yer

Argümanın diğer yarısı da aynı ölçüde önemlidir. İlk satırdaki L/h = 20 olan narin kirişte çubuk elemanlar ile kabuklar arasındaki fark %0,5’tir. Kayma her zaman mevcut olduğu için sıfır değildir, ama ihmal edilebilir. Zaten öyle olmalıdır: iki model narin bir çubukta uyuşmuyorsa önce sonlu eleman modelini, özellikle de ağı kontrol edin.

Tek programda iki model

Çubuk elemanları ve kabukları aynı programda bulundurmak yeni bir şey değil. SAP2000, ETABS, Robot ve midas ikisini tek bir modelde birleştirir ve bu, profesyonel yazılım için temel düzeydir. Ancak hesapladıklarını açıklamak için tasarlanmamışlardır. Diğer uçta Ftool ve MASTAN2 gibi eğitim araçları çubuk analizini çok iyi öğretir ama sonlu elemanlara geçmez.

Stabileo iki modu tek programda sunar. Temel mod çubuk elemanlarla çözer ve rijitlik yöntemini dokuz adımda gösterir: serbestlik derecesi numaralandırması, yerel matrisler, dönüşüm, birleştirme, yük vektörü, sınır koşulları, çözüm, mesnet tepkileri ve iç kuvvetler. PRO mod ise sonlu elemanlarla, çubuk elemanların yanında MITC4 kabuklar ve DKT plaklar kullanarak çözer. İncelediğimiz araçlar arasında, analizin nasıl çalıştığını öğrenip ardından araç değiştirmeden daha kapsamlı bir modele uygulamanıza olanak tanıyan başka bir program bulamadık.

Özetle

1. Prizmatik bir çubuk için rijitlik yöntemi, sonlu elemanların tam özel halidir. Seçtiğiniz şey modeldir.
2. Doğru eksenli bir çubuk ağ gerektirmez. Bölmek sonucu değiştiriyorsa başka bir şey yanlıştır.
3. L/h ≈ 5’in altında çubuk modeli sehimi %8’den fazla, 3’ün altında ise %19’dan fazla eksik hesaplar. Kirişi her zaman daha rijit yapar.
4. Hiperstatik bir yapıda bu hata yüklerin nasıl dağıldığını değiştirir. Kirişlerden önce basık perdeleri kontrol edin.
5. Kirişsiz döşemeler, boşluklu perdeler ve mesnetlere yakın yükler, bir çubuk modelinin cevaplayamayacağı sorular doğurur.
6. Çubuğun narin olduğu yerde iki model uyuşmak zorundadır. Uyuşmuyorlarsa ağı kontrol edin.